贝特朗悖论为什么出现(贝特朗悖论之争的终极原因——这只是一道缺少条件的数学开放题)

贝朗特

1. 贝特朗悖论的产生背景

人们对概率的研究有着悠久的历史。公元1494年意大利的帕奇欧里（paciuolo）提出了了关于“分赌金”的问题，这个问题直到16世纪才有巴斯卡（1623～1662）、费尔马（1601～1665，费马大定理的提出者）、惠更斯（荷兰数学家1629～1695）联合解决。

转眼到了1812年,法国数学家拉普拉斯撰写了《分析概率论》这一著作,概率的古典定义在书中被首次完整而系统地提出.作为对古典定义的补充和推广,在无限样本空间背景下的几何概率也得到了广泛的应用。

正当古典概率和几何概率在各自的研究领域内迅猛发展时,1899年,法国数学家贝特朗（nseph Bertrand,l822-1900）提出一个“简单”的问题:

在圆内任作一弦,求其长超过圆内接正三角形边长的概率是多少？

按照几何概率的定义进行计算,竟然可以求得3个不同的概率,这与概率的性质是背道而驰的.这就是著名的“贝特朗悖论”矛头直指几何概率概念本身.贝特朗悖论说明原来关于概率的定义带有很大的局限性,迫切需要一种公理化体系改造概率论.1933年,前苏联数学家科尔莫戈洛夫提出了概率的公理化体系,迅速获得举世的认可,使得古典概率和几何概率具有了更加严密的逻辑基础,像“贝特朗悖论”这类自相矛盾的问题也得到了合理的解释。

华罗庚说：“新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要”。

2. 相关的概念

古典概型

2.1古典概型

① 定义

如果一个随机试验所有可能出现的结果只有有限个,即基本事件总数是有限的,并且每个基本事件发生的可能性相同,那么称这样的随机试验为古典概型试验,简称古典概型.

古典概型的特点: (i)有限性一试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;

(ii)等可能性——每个基本事件出现的可能性相等.

② 概率计算公式

P(A)=m/n=(事件A包含的基本事件数)/(基本事件总数)

2.2几何概型

①定义

对于一个随机试验,将基本事件理解为从某个可度量的几何区域G内随机地取一点,该区城中每一个点被取到的机会都一样;而随机事件A的发生则理解为恰好取到区域G内的某个指定区域g中的点,则称这个随机试验为几何概型随机试验,简称几何概型

③ 率计算公式

P(A)=(g的度量)/(G的度量)

g的度量为构成事件A的区域的长度、面积或体积,G的度量为试验的全部结果所构成的区域的长度、面积或体积.

一切推理都必须从观察与实验中得来。——伽利略

3. 贝特朗的三种解法

假设事件E表示“在半径为R园内任作一弦，其长超过圆内接正三角形边长”。

解法一，

如图1，由于对称性，可将弦的一端固定在等边三角形的某一顶点上，然后另一端绕着圆周旋转。若在固定端点作一条切线，则与此切线交角在π/3与2π/3之间的弦才能超过内接正三角形的边长。即是图中夹在∠BAC中的弦是符合要求的，又∠MAB=∠BAC=∠CAN,故而所求的概率是1/3。

这种解法的本质是，先任意固定弦的一个端点，然后以弦的另一个端点的位置作为试验的基本结果，并假定另一端点在圆周上等可能的分布，这是，G=2πR, g=（2πR）/3,于是，

P(E)=g/G=1/3.

此法还可以这样解释，由于对称性，可预先固定弦的一端。仅当弦与过此端点的切线的交角在60°～ 120° 之间，其长才合乎要求。所有方向是等可能的，则所求概率为1/3 。

解法二，

如图2，

由于对称性，可任意指定弦的方向。作垂直于此方向的直径A1A4，把圆六等分，分点是A1，A2，A3，A4，A5，A6，B为A2A6与A1A4的交点，C为A3A5与A1A4的交点，由于弧A1A2的是60度的弧，所以∠A1A6A2=30度，A1B=A1A6/2=半径/2;于是A1B+A4C=BC=半径。只有交直径于1/4 点与 3/4 点间的弦，其长才大于内接正三角形边长。所有交点是等可能的,则所求概率为1/2 。

这种解法的本质是，先任意指定弦的方向，然后以该方向上的所有弦的中点的位置作为试验的基本结果，这些中点刚好落在垂直于该方向的直径上，假设弦的中点在直径上的分布是等可能的。

解法三，

如图3，

圆内弦的位置被其中点唯一确定。在圆内作一个同心圆，其半径仅为大圆半径的一半，则当弦的中点落在小圆内，弦长才能超过内接正三角形的边长。

这种解法的本质是，以任意弦的中点的位置作为试验的结果，并假设弦中点在圆内等可能分布。这时，G=πR ˄2，g=π(R/2)˄ 2.于是P(E)=1/4.

直观馈赠过我们，当然也会误导我们。

4.各种观点的总结分析

从各解法的取点的特征可以看出，之所以有3个不同的答案，是因为人们观察随机事件的基本结果的角度不同，同时对基本结果的等可能性假设也有不同的理解。

贝特朗悖论的关键在于题干中的一个：在圆内任作一条弦。对任意的不同理解造成了这个看似简单的问题成了“悖论”。

从贝朗特悖论诞生的那一刻起，对于讨论与分析就没有间断过，厚此薄彼者比比皆是，有些人还提出了看似无可辩驳的理由。下面分别从各种方法的有利论点与不利原因进行分析。

4.1认为解法一唯一正确

解法一认为“弦是由两个端点决定，任意作弦就应该先随机确定两端点在圆上的位置，这是需要假设两端点在圆上等可能分布”，而解法二、三是无法推出两端点在圆上等可能分布的，故而有人认为解法二、三是错误的。

但是也有人提出，解法一先固定一个顶点的位置，会不会影响等可能性，这种担心虽然是多余的，有人根据提出的意见提出了解法一的另一个版本。

解法四：见图4，把单位圆的圆心固定在直角坐标系的原点，表示弦的两个端点，只有当与的夹角大于时，弦的长度才能超过内接正三角形的边长。

这种解法的本质是在解法一的基础上，不再预先固定弦的一端，而让弦的两个端点随机独立选取。这时的试验结果是弦的两个端点的位置，并假设两个端点各自在圆周上等可能的分布。用二维点（α，β）表示试验结果，其中α表示OC岸逆时针方向旋转至OA所经过的角度，β表示OC按逆时针方向旋转至OB所经过的角度，C是圆周与x正半轴的交点。

0≤α≤2π；0≤β≤2π.易得，只有当2π/3<|α—β|<4π/3时，

弦的长度才能超过内接正三角形的边长。如图5所示,当二维点（α，β）在图中的黑色部分时满足条件，故而P(E)=1/3.

还有些坚持解法一的人认为正是因为其巧妙的避开了“圆心”，故只有解法一才是真确的。在解法二，假设所以弦的中点在圆中是等可能分布。对于圆中的弦，除了直径外，均为唯一的弦中点与弦对应。而圆心，却是所以直径共同的中点，即这个中点特别“厚”，因此认为弦的中点在某直径或在园内是等可能分布是不成立的。

4.2认为解法二唯一正确

其主要观点基于一个假设:弦是由点组成的,长的弦需要更多的点,故任一弦出现的概率与其长度有关,由此计算得到解法2才是正确的.而解法1和解法3的情况,若按该假设重新计算,也能得到解法2的答案

4.3认为解法3唯一正确

因为其他两种解法把弦重复计算了，故只有解法3是正确的。甚至可以把其余两种解法通过剔除重复计算的弦而修改为解法3的答案。

有人认为在贝特朗悖论的3种解法中,有的解法对作弦有限制.比如解法1要求先固定弦的一端,解法2要求先规定弦的方向.而原题要求在圆内任意作弦,故作弦时附加的这些条件是不合理的.而解法3没有这些特殊要求,因此解法3才是符合题意的作弦方法。不知持这种观点的朋友对解法四作出怎样的分析与辩驳。

5．剖析各种解法的实质

由此看来,贝特朗悖论的3种解答，各有所持，也各有所短，究竟哪个更合理呢？下面,从几何概型的基本要素(样本空间的构造和作弦的等可能性)对以上争议进行深入的分析。

5.1各种解法中样本空间的构造的合理性分析

样本空间中的元素是试验的基本结果.贝特朗悖论的题意是要求在圆内任意作弦,直观看来,试验的结果应该是做出的弦,但是几何概率问题中试验的基本结果应该用“点”来描述,这个点根据实际情况可以是一维数轴上的点,也可以是二维平面上的点,或者是三维空间上的点。故求解贝特朗问题的首要任务是要把做出的弦转化成相应的“点”,即样本空间的元素.而弦和点之间应存在对应关系,上述的4种解法均从各自的角度把试验的结果转化成样本空间中的“点”。

另外,当对作弦附加了条件,比如指定弦的端点(解法1)和指定弦的方向(解法2),会否缩小样本空间?

园内任一条弦，总是由弦在圆上的两个端点决定，而且也必然垂直于某一条直径。

解法1中,在圆周上任取一点,作为弦的一端,然后讨论弦的另一端点的位置.根据圆的对称性,以及取点的任意性,固定一端点后所作的弦的性质与固定其他点所作的相应弦的性质相同，当然包括概率这个性质。故虽然表面上看起来解法1的样本空间比解法3的样本空间要小，但所求的概率是合理的。

解法2中,预先任意确定弦的方向,考虑在这个方向上的弦的性质,由于这个方向也是任意的,在这个方向的弦的性质与其他方向上的弦的性质相同。因此虽然样本空间比解法3的样本空间小,但所求的概率也是合理的。

5.2各种解法中作弦的等可能性分析

究竞哪种方法真正等可能地作弦?这是最困扰人们的间题。实际上,古典问题和几何问题的一个最大区别,在于可数（结果的有限性）和无限不可数（点的不可数性）的问题。其中几何问题上涉及的无限不可等数问题是很抽象的间题。若根据古典的思想,用弦的数量多少或者点的数量多少来解决间题,是不正确的。

在古典概型中,由于试验基本结果是有限的,当样本空间确定后,试验基本结果的等可能性是可以验证的.但是,几何概型却并非如此。

在几何问题中,当样本空间确定后,试验结果的等可能性质却需要明确假定。而且由于试验结果的无限性,这种假定无法验证,这是人们最容易忽视和无法理解的问题.

贝特朗悖论问题恰恰是缺少了相应的等可能性假定,题干只要求在圆内任意作弦,至于弦在圆内是按何种方式等可能分布,是没有提及的,才导致如此多的“解法”。

因此,这并不算一种悖论,只是一道条件不充分的数学题,不同的人为了“解”它而添加不同的条件,将其改造成各种不同的可解的问题而已.解法1和解法4强调弦由端点决定,假设端点在圆上等可能分布:解法2强调弦由其中点决定,并假设弦中点在与弦垂直的直径上等可能分布:解法3强调弦由其中点决定,假设中点在圆内等可能分布.

这是各种不同的等可能假定,是不能够互相转化的,比如,当认为弦由端点决定,假设端点在圆上的等可能分布时,必然使得另外几种情况的等可能性假设失效.当作不同的假定后,计算的结果也就不同了。

所以,这几种方法实际上都做到了真正的等可能取弦。

5.3关于圆心的说明

圆心,这个特殊点,在贝特朗悖论争论中担任了重要角色.在解法3中,假设弦的中点在圆内等可能分布.但是圆心这个特殊的弦中点确实比其他弦的中点“厚”,因为它是所有直径的共同中点，而圆内的其他点都只是某一条弦的中点。这时假设弦的中点在圆内等可能分布的这种等可能性假设是否合理?答案是肯定的。

古典概型和几何概型均有对试验基本结果的等可能性要求。古典概型的等可能性要求试验的每一个基本结果出现的可能性大小相同。但是几何概型的试验结果是无限不可数的,其等可能性条件的实质并不是要求每一个试验的基本结果出现的可能性大小相同。

几何概率的计算公式已表明,几何问题的概率是由试验结果所构成的测度所决定,单个试验结果的测度为0,甚至有限个试验结果的测度之和也为0,因此,几何问题中的每一基本试验结果出现的概率必相同——概率为0.这和概率为零的事件并非一定是不可能事件是相同道理的。

由此可见,考虑每一个基本试验结果的可能性大小并没有意义.几何概型中的等可能性强调的是试验结果落在度量相同的子区域内是等可能的,不管该区域的形状如何。

因此,圆心的特殊性质并不影响概率的计算,也不影响等可能性假设.一种极端的想法是甚至可以把圆心挖掉,少了这个圆心不会影响任何事件概率计算的正确性。

5.4关于作弦的概率与弦长有关的假设

有人认为,由于圆内的所有点是等可能分布的,而不同长度的弦由于含有不同数量的点,因此作不同长度的弦是不等可能的,作长的弦比作短的弦概率大这种说法并不合理。

弦虽然是有限长度的线段,但是不同长度的弦所包含的点均是无穷多个,这属于实无限思想的范畴,在实无限领域,可以证明不同长度的两条线段中的点存在一对应的关系.德国数学家康托尔甚至成功证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应,也能和空间中的点一一对应,从这种意义上说,不同长度的弦包含的点其实是一样多的,故认为作弦的概率与弦长有关的假设是不合理的.详细了解可看拙文：一位高中数学教师眼中的“数学计算”（五）子集与集合相等

6.结论

6.1贝特朗悖论并不奇

贝特朗悖论确实不奇,这并不是指它应该有唯一的答案,而是指它其实是一道开放性的,条件并不充分的题目,当把题目补充完整后,答案就唯一,这个不充分的条件正是关于弦的等可能性分布的假定。只是有的人对任意作弦的方式有个人偏好,因此倾向于某种等可能性假设,而偏向于某种解法。而实际上,这种假定甚至还不限于本文所提及的4种,所以贝特朗论的答案非但不唯一,甚至是有无数个解,下图告诉我们，它的概率是[1/3,1/2]中的任意一个数。

当然,当等可能性条件补充完整后,贝特朗问题的解就唯一了.

在2009年福建省数学高考文科试题中出现这样一个题目：点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为 。

当时很多人觉得它是个错题，因为答案不唯一，这就是不明白本题的等可能条件已经完备了，答案只能是2/3.其他的答案全是错误的。

6.2几何概率问题中的等可能性假设是一种数学假設并无法验证

虽然几何概型和古典概型在确定概率时都要求试验结果满足某种等可能性条件,但是古典概型中的等可能性条件是可以验证的,而几何问题中的等可能性假设必须明确给出,并且无法通过直觉获取也不能通过实践验证。

几何问题涉及的是无限不可数问题,试验结果通常是用点线、面、体等几何元素表示.“点”动成“线”,“线”动成“面”,“面”动成“体”,也就是说几何世界是由“点”构造出来的,但“点”是没有大小的东西,它在现实世界中是不存在的.数学源于现实,脱胎于现实,但它已经完全超越现实,在数学世界与现实世界之间存在着不可逾越的鸿沟,从直观的、直觉的、现实世界的角度去看数学世界的内容是引起贝特朗悖论争论的本质原因。