顶点坐标公式（数学压轴真题，用到抛物线开口大小的知识）

不知道大家有没有发现？我们平时运用抛物线开口的性质，一般都只运用到开口方向的问题。很少用到抛物线开口大小的性质。那么你知道抛物线开口大小到底可以应用在哪里吗?下面这道中考数学关于抛物线的压轴题，就可以运用到抛物线开口大小的性质。不过这道题最难的一步，还是在求重叠部分的面积上。我们一起来看题：

如图所示, 在平面直角坐标系中，二次函数y=a(x-2)2-1图像的顶点为P，与x轴交点为A, B，与y轴交于点C, 连结BP并延长交y轴于点D.

(1)写出点P的坐标；

(2)连接AP，如果△APB为等腰直角三角形，求a的值及点C, D的坐标；

(3)在(2)的条件下，连结BC, AC, AD，点E(0,b)在线段CD(端点CD除外)上，将△BCD绕点E逆时针方向旋转90⁰，得到一个新三角形。设该三角形与△ACD重叠部分的面积为S，根据不同情况，分别用含b的代数式表示S，选择其中一种情况给出解答过程，其它情况直接写出结果。判断当b为何值时，重叠部分的面积最大？写出最大值.

分析：(2)第一小题是送分题：题目给了二次函数的顶点式y=a(x-h)^2+k, 顶点坐标就是(h,k)，而h=2, k=1，所以顶点坐标是P(2,-1).

(2)第二小题求a就可以运用到抛物线开口大小的性质了。注意，下面这个定理，课本上是没有的。当抛物线在横轴上的开口大小为2时，抛物线的二次项系数a=-k (k是顶点式中的参数). 这个定理是怎么来的呢？在老黄之前的视频中有过部分介绍。等老黄有空，再专门写一篇文章，证明给大家看。由于图中AB=2，所以a=1. 不会用这个定理，则需要一个解题过程。可以根据韦达定理的拓展公式，xB-xA=2，代入公式就可能求a了。

C点的坐标和D点的坐标都是可以直接写出来的。因为OC=OB=OD。当然，这里也可以有一个证明过程。因为在等腰直角三角形APB中，角ABP等于45度，所以直角三角形BOD也是等腰直角三角形。而点C的坐标则来自于抛物线的一般式，由一般式的参数c(就是常数项)可得。

(3)第三小题有三种情形，但分析时要写成五种。分别包括0<=b<3, -1<=b<0和-3<b<-1，其中b=0和b=-1要单独分析。

为了描述方便，需要记一些点，比如CD的旋转对应边与AC的交点F，交AD于H，BC的旋转对应边与y轴的交点G，BD的旋转对应边交AD于K，过F作y轴的垂线段FJ，过K作y轴的垂线段KL。

当0<b<3时，如下图，重叠部分面积就是三角形CEF的面积。

当-1<b<0时，如下图，重叠部分面积等于三角形ACD的面积减去三角形CFG的面积再减去三角形DEH的面积；

当-3<b<-1时，如下图，重叠部分面积等于三角形DKG的面积减去三角形DEH的面积。

以下组织解题过程：【】中部分不需要写在试卷中

解：(1)P(2,-1).

(2)AB=2, a=1.

C(0,3), D(0,-3).

解：(3)如图, 记CD的旋转对应边C’D’交AC于F.

BC的旋转对应边B’C’交y轴于G.

当0<b<3时, ∵△C’EF∽△COB,∴EG=C’E=CE=3-b,即点G和点C重合.

∵EF//x轴, ∴EF=OA·CE/OC=(3-b)/3.

S=EF·CE/2=(3-b)^2/6，

当b=0时，S=3/2，

【当b<0时, D’在BD上, EG=ED’=ED=b+3,

CG=CD-DG=6-2EG=-2b,

记C’D’交AD于点H, 则

EH=OA·DE/OD=(b+3)/3,】

当-1<b<0时, 可设F(f, -3f+3),

过F作FJ⊥y轴于点J, 则FJ=OG-OJ=EG-OE-OJ,

即f=2b+3f, f=-b,

S=S△ACD-S△CFG-S△DEH=3-b^2-(b+3)^2/6=(-7b^2-6b+9)/6.】

当-1<b<0时,S=(-7b^2-6b+9)/6.

【当-3<b<-1时, 记B’D’交AD于点K,

可记K(k, 3k-3), 过K作KL⊥y轴于点L，则KL=OL+OG=OL+EG-OE,

即k=3-3k+b+3+b, 解得：k=(b+3)/2,

S=S△DKG-S△DEH=(b+3)^2/2-(b+3)^2/6=(b+3)^2/3.】

当-3<b<-1时, S=(b+3)^2/3.

综上, 当b=-3/7时, S=12/7最大.

由于过程过长，所以能省略的全省略了。大家觉得这道题怎么样呢？