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平方根的定义和性质是什么(初中数学丨平方根、立方根的有关概念)

1.平方根

a.平方根的概念

b.算术平方根的概念

注意:算术根号a具有双重非负性,即根号a≥0;算术平方根与平方根的定义中,a应为非负数,即只有正数和零才有算术平方根和平方根;负数没有算术平方根和平方根。

c.开平方

求一个数a的平方根的运算,叫做开平方。

平方与开平方互为逆运算。平方根等于本身的数是0,算术平方根等于本身的数是0和1.

d.平方根的性质

正数有两个平方根,它们互为相反数;

0的平方根是0;

负数没有平方根。

例1:求下列各数的算术平方根。

例2:若数m的平方根是2a+3和a-12,求m的值。

解:∵负数没有平方根,故m必为非负数。

(1)当m为正数时,其平方根互为相反数,故(2a+3)+(a-12)=0,解得a=3,故2a+3=2×3+3=9,a-12=3-12=-9,从而a=9×9=81.

(2)m等于0时,其平方根仍是0,故2a+3=0且a-12=0,此时两方程联立无解。

2.立方根

a.立方根的定概念

b.开立方

求一个数a的立方根的运算,叫做开立方。立方与开立方互为逆运算。

c.立方根的性质

正数的立方根是正数;

负数的立方根是负数;

0的立方根是0.

3.立方根与平方根的区别与联系

a.两者的联系

①都与相应的乘方运算互为逆运算。开平方与平方互为逆运算,开立方与立方互为逆运算。

②在研究被开方数和平方根的关系时,都有类似小数点的移动规律。

③0的平方根和立方根都是它本身。

b.两者的区别

①在用符号表示平方根时,根指数2可以省略,而用符号表示立方根时,根指数3不可省略。

②只有非负数才有算术平方根,而立方根任何数都有。

③正数的平方根有两个,而正数的立方根只有一个。

④被开方数的小数点移动2位时,平方根的小数点向相同方向移动1位;被开方数的小数点移动3位时,立方根的小数点向相同方向移动1位。

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