不仅仅是“知识”，更要多一些“智慧”

在数学当中，定义也好，公式也好，这些都是知识。那么，怎样才能把定义、公式这些知识向智慧升华呢？那就是验证。在验证的过程当中，你能够体会到，前辈们在发现定义和公式的时候那种惊讶和感触。自己亲自动手来验证，你就会有所感触，

“啊，真厉害。还真是这样啊！”

而这种体会，就是知识向智慧的转变。

知识就仅仅只是从别人那里学来的单纯的知识。但是，通过验证，体会到它的正确性之后，这就不仅仅是知识了，而变成了智慧。

对定理和公式进行验证

在一开始，我想先给大家介绍几句名人名言。

“问题不在于告诉他一个真理，而在于教他怎样去发现真理。”（哲学家、教育思想家卢梭）

“我喜欢旅行，但不喜欢到达目的地。”（物理学家爱因斯坦）

“哥伦布感到幸福不是在他发现了美洲的时候，而是在他将要发现美洲的时候。他的幸福达到最高点的时刻大概是在发现新大陆的三天以前。问题在于生命，仅仅在于生命，在于发现生命的这个不间断和无休止的过程，而完全不在于发现结果本身。”（小说家陀思妥耶夫斯基）

“通常，人们把登上山顶作为目的，把登山作为手段。或许，二者也可以颠倒一下。”（乐天会长兼社长三木谷浩史）

实际上，这些名人名言都只说明了一个意思，那就是，从事物的本质上来说，结果并不是最关键的，重要的是它的过程。

就好比说金字塔，当我们看到金字塔的时候，会有一种敬畏的感觉，这是为什么呢？是因为金字塔看上去特别的宏伟壮观吗？我不是这么认为的。在当今的科技产业下，比金字塔看上去更加宏伟、更加壮观的现代建筑是数不胜数。这是因为几千年前的人类在当时的科技水平下，就能够创造这样的奇迹，我们为此而感到震惊。更进一步的说，在当时的时代背景之下，那些石头是怎样堆积上去的，这一点让人感到神秘和不可思议。要说金字塔真正的价值，无非就是它的建造方法。

那些数学公式和定义也是同样的道理。它们的本质并不在于结果的完美和得到结果的便捷，而是在于它是如何得出的，是如何推演的，这样一个验证的过程。

定理和公式是“人类智慧的结晶”

说起数学的历史，那是非常的久远。早在公元前7万年左右，人们的绘画中就出现了几何图案。而在公元前3万年左右留下的历史遗迹当中我们就可以看出，当时的人们已经掌握了时间。就拿我们日常生活当中耳濡目染的算术和几何学来说，都已经有5000多年的历史了。

从小学到初中再到高中，总共是12年。在这12年的教学计划当中，包含了数学史上5000多年以来的最重要也是最完美的数学定义和公式。每一个时代都有在当时世界上最顶尖的数学家，而我们在小学、初中和高中时代所学的数学定义和公式，实际上已经涵括了所有这些人的智慧的结晶。这些数学定义和公式的结果并不是智慧的本质，而本质的体现，就在于推算的过程。

在验证的过程当中有所感动

当我们聆听莫扎特的音乐，欣赏毕加索的绘画的时候，会为此而感动。同样，在数学定义和公式当中也有感动。然而这种感动，绝不是因为只看到了结果，或者是因为能够把这些公式和定义“运用”到数学题当中去，而是因为通过数学的验证，让我们感受到了前人的伟大。

“啊，真厉害啊！”

“啊，真是天才啊！”

在验证的过程当中，我们会发出这样的感慨。这种感动也是数学的趣味性所在，我们能够借此而感受到数学当中有趣的一面。不过遗憾的是，学校的教学安排总是让学生们一刻不停的写作业、考试，学生们根本就没有多余的时间让学生们来感受这些。如今日本的教学方式就是这样：

“看，这就是二次方程式的运算公式，你们要牢牢的记住它。”

遗憾的是，用这种方式来教学生的老师不在少数。故而有那么多的人在学生时代对数学产生了厌恶的情绪。正因为如此，我希望大家能够再次拿起数学，把当年老师要我们背诵的那些定义和公式进行验证，从中得出体会，并得到感触。希望有更多的人发现数学的乐趣，喜欢上数学。

通过验证提高“数学的能力”

如果说数学的能力就是逻辑判断能力的话，那么，如何才能提高逻辑判断的能力呢？在前文当中，我曾拿金字塔来举了个例子。而逻辑判断能力，就好比是如何用一块块的石头来堆成金字塔一样，是一种对事物进行判断思考的能力。

说到金字塔的建造，在堆积石头的时候如果只是这么随意的往上堆的话，那么金字塔很快就会倒下来的。必须要知道下一块石头该放在什么地方。而前人留下的金字塔，就是对这种逻辑的验证和实践，我们可以从中学习到逻辑性的堆积方法。同样，历史上的那些数学天才们留下来的定义和公式，我们拿来一一验证，就等同于在向那些前辈们请教数学。拿到一道数学题该如何着手，变换方程式的方法和窍门，如何作辅助线等等，有太多的地方值得我们去学习。对于我们来说，恐怕没有比这些数学天才们更好的老师了。

之前我已经说过许多次了，如果仅仅只是把每一种数学题的解题方法都记下来，这样对提高你的数学能力，是没有任何帮助的。至于死记硬背那些定理和公式，更是毫无意义。在学习数学的过程当中，如果说有什么东西是值得背下来的话，那么就只有一个：对定义和公式的验证方法。

有一句话是我们耳熟能详的，无论多么天才的发明和创造，最初也是从模仿开始的。就算是公认的天才莫扎特，也需要海顿老师的教导。既然要模仿，那就应该模仿最好的、最顶级的。因此，我们才要去学会如何验证那些数学天才们留下来的定义和公式。在验证的过程当中，能够感觉得到，他们所留下来的逻辑理论，都会变成属于你自己的东西。到那个时候，你就真正的掌握了数学的能力。

对勾股定理的验证

在上一章节，我们讲到了对定理和公式的验证，那么接下来，我们举一个具体的例子，就拿著名的勾股定理来举例好了。首先我们来回忆......略

对2次公式的验证

在学生时代，我们学到了许多数学定理和公式。这当中有一些虽然能够背下来，却不能够验证。而其中具有代表性的例子就是2次公式。现在就让我们来试着验算一下2次公式。而在验算之前，先让我们来确认一下2次公式是什么：

【2次公式】

参考阅读
https://m.toutiao.com/is/MCx1DrH/ - 转载：丑陋却万能的二次方程求根公式 - 今日头条

如上所述，这就是2次公式。（啊，如果你不记得了也没有关系！)

在验算2次公式之前，我们先来回想一下，2次方程式的运算究竟是怎样的。我们拿2次方程式当中最简单的类型来举例子，比如：

x²=p

就是最简单的一个2次方程式。我们即使不用任何公式，也能够得出：

x ＝±√p

如果我们把 ax² + bx + c =0按照：

（ )²=p

的形式进行变形，那么就应该可以得出：

（ )＝±√p

然而，真的可以得出这样的结果吗？

在变形之前，我先给大家介绍一个非常重要的运算技巧，那就是“平方的转换”。

【平方的转换】

把2次方程式 ax + bx + c 按照

ax² + bx + c = a ( x + p )²+ q

的方式进行变形，我们将它称之为“平方的转换”。（顺便说一下，“平方”就是“2次方”的意思。)

平方的转换，绝对不是简单的方程式变形就可以完成的，接下来请大家仔细阅读。

首先，让我们来学习一下“平方转换的基本公式”（这个是我自己命名的）。当你把：

( x + m )²= x +2mx+m²当中的 m 进行移项，就可以得出“平方转换的基本算式”。

【平方转换的基本公式】

图片

接下来，我们就用“平方转换的基本公式”对 ax² + bx + c 进行平方的转换。

图片

这样一来平方的转换就搞定了。

肯定有人会觉得，这真的是太难了。就像我之前所说的那样，这绝不是简单的变形，因此，在一开始的时候，你肯定会感到不知所措（我一开始也这样）。但是无论如何你都要习惯它。

找一张白纸，尽量把这个算式多练习几遍，这只是一个纯粹的技巧，你肯定能掌握的。

把a从左移到右。