导语

数学物理学家费根鲍姆（Mitchell Feigenbaum）因发现混沌中倍周期分岔的普遍性以及相关的费根鲍姆常数而闻名。近期，非线性科学交叉学科期刊 Chaos 发表纪念文章，回忆了费根鲍姆在许多领域做出的广泛贡献，以及他孜孜不倦的探索精神和人格魅力。

关键词：混沌，分岔理论，分形

费根鲍姆最著名的工作是发现了混沌中倍周期分岔（Period-doubling bifurcation）的普遍性，以及与之相关的费根鲍姆常数（Feigenbaum constant）δ= 4.6692016 ...——一个与常数π、e一样普遍的数字。这一结果不仅让费根鲍姆获得了科学界的认可，而且让大众媒体、畅销书作家甚至主要电影制作人关注到混沌这个主题 [1]。尽管他因这项工作而闻名，但费根鲍姆孜孜不倦的探索精神和高度专注，让他在许多领域做出了更多广泛贡献。

图1. 米切尔·费根鲍姆是著名的数学物理学家，发现了倍周期转变在混沌中的普遍存在性。

我第一次见到费根鲍姆是在1974年秋天，当时我们都加入了洛斯阿拉莫斯科学实验室（Los Alamos Scientific Laboratory）重新焕发活力的理论部门，该部门由彼得·卡拉瑟斯（Peter Carruthers）领导。在随后的 45 年里，四处奔波的学术生涯让我们身处不同的地方，但我们仍然是亲密的同事、旅伴和亲爱的朋友，甚至有一段时间，我们还是连襟。若想要了解费根鲍姆的性格与成就，必须首先认识到他不是20世纪以学科为导向的典型的研究人员，而与18 世纪的自然哲学家有更多的共同点——他们认为自然界中的所有事物都值得被探索。

费根鲍姆坚持以自己的方式理解一切，并且试图找到问题的本质。这种探索是浮士德式的不懈追求，引用歌德的《浮士德》来概括我的评论显得无比恰当。从伟大的戏剧《浮士德》到歌德的色彩理论，费根鲍姆碰巧对此无比着迷。当费根鲍姆认为他知道某事，便必须从第一原理中推导出来。他从不满足于走捷径，依赖别人的解释和理解。这种思维方法让我想起《浮士德》第一部早期的一个场景：浮士德在将圣经翻译成德文时，很快就卡在了第一行（“In the beginning was the ...”），他思考怎样翻译 “logos”这个词最为合适。“logos”通常翻译为“词”（word），但浮士德最终认为将“logos”翻译为“行为”（deed）更好。

事实上，费根鲍姆确实专注于“行为”，即寻求揭示问题的核心，从而向世界揭示一些更为新颖的东西。这些“行为”的一种表现是他极强的专注力，在研究从倍周期转变到混沌的过程中，费根鲍姆为了将所有事情都记住，经常连续工作48小时。尽管费根鲍姆非常精通计算，尤其是计算机算法，但他始终怀疑计算机是否能在没有概念模式来解释结果的情况下揭示新见解。他曾经评论道：“通过观察来学习很难，所以当一个人盯着电脑屏幕时，为什么会奇迹般地灵感乍现？”[2]

为了说明这一观察，费根鲍姆使用HP65手持计算器分析他的倍周期序列，这是一种相对较慢且精度有限的设备。结果，当他试图跟随逻辑斯蒂映射这个看似简单问题的行为时，费根鲍姆有充足时间思考也不得不思考。迟缓的HP65迫使费根鲍姆仔细检查连续周期倍增的参数值，他最终发现它们以速率δ几何收敛 [3]。而在同一时间，反观那些也在研究周期倍增的其他人：他们要么只使用模拟而并未深入挖掘，要么没有怀疑和识别包罗万象的普遍性，从而错过了这一关键点。总而言之，是费根鲍姆找到了问题的核心。1980年阿尔伯特·利比查伯（Albert Libchaber）和让·毛雷尔（Jean Maurer）[4] 对费根鲍姆理论工作的实验证实，带来了混沌研究真正的分水岭，最终费根鲍姆和阿尔伯特在1986年共同分享了沃尔夫物理学奖。

图2.倍周期分岔

尽管费根鲍姆在科学文献中发表的文章相对较少——Web of Science 仅收录了费根鲍姆及其合作者的27篇文章——但他广泛的兴趣和非凡的常识深度使他能够对物理学以外的许多领域做出重大贡献。他发明了一种称为“哈蒙德最优等角投影”（“Hammond’s optimal conformal”）的新型等角地图投影，为制图学做出了变革性贡献，这种投影可最大限度地减少地球曲面平面地图中物体形状和相关区域的变形。他还创建了一种混沌抖动算法（chaotic dithering algorithm），可以快速有效地标记地图，显著提高其易读性和美学吸引力。1992年创新的哈蒙德世界地图集，就可以看出这些发明的好处，这真是一件美丽的艺术品 [5]。

20世纪90年代，费根鲍姆在国家研究委员会的下一代货币设计委员会任职，并且提出了防止伪造的方法。费根鲍姆利用他对分形的不同寻常的洞察力，设计出即使是高分辨率数字复印机也无法复制的图案；复印机将在副本中引入原件中没有的新特征。这项工作让人想起牛顿提出的，在硬币中引入磨边以防止剪断的提议。费根鲍姆对计算机算法兴趣浓厚，并在1996年与他人共同创立了Numerix，这家公司致力于开发新颖软件，以提高用于金融衍生品定价的计算速度和准确性。

这些让我想到了这篇评论的一个中心问题：费根鲍姆对光学和人类视觉感知的持久兴趣。他曾经告诉我，他还是个孩子的时候就对云的结构着迷了，这当然不是孩子画的简单“斑点”，而是在所有尺度的结构中包含结构；在“分形”这个词被发明之前，他就看到了“分形”。

图3. 云的分形结构 | 来源：Google Earth

一旦被激发，费根鲍姆对光学和人类视觉的兴趣在他一生的几个阶段重新出现。当他在麻省理工学院攻读研究生时，费根鲍姆被认知科学家杰罗姆·莱特文（Jerome Lettvin）的工作深深吸引，在他著名的文章“青蛙的眼睛告诉青蛙的大脑”中的见解，进一步激发了费根鲍姆对人类视觉机制和人类感知微妙之处的兴趣。

图4. Jerome Lettvin 

2006 年，费根鲍姆的老朋友兼同事 Kenneth Brecher 向他展示了几个光学“错觉”，包括一些非凡的“变形图像”时，费根鲍姆对这一领域的兴趣得到了进一步的激发*。其中，在平面上绘制的扭曲且基本上无法识别的图像，在从曲面（例如垂直放置的圆柱管）反射并从特定角度观察时变得清晰。这件事促使费根鲍姆对物理光学和人类视觉感知的本质，进行了长达数十年的研究。费根鲍姆的目标是通过精心设计的光学应用，辅以视觉神经生理学，推断出与视觉和感知相关的“规则”。他在这一领域的主要工作，是一本书长的手稿，名为“管子上的反射”（Reflections on a tube），该手稿尚未发表，但这正是 Eckmann 等人在 Chaos 杂志的文章“Imaging in reflecting spheres” 的灵感来源。

图5. 从左下方观看时，黄色方框中扭曲的形状变成右侧的骷髅。

费根鲍姆确实是一个独特的人。用威廉·布莱克（William Blake）的话来说，费根鲍姆眼中是“一沙一世界，一花一天堂”[6]。费根鲍姆同样从容地讨论舒伯特、贝多芬和瓦格纳音乐的复杂性，伦勃朗和毕加索的艺术，康德和叔本华的哲学，歌德的色彩理论，或弗洛伊德的精神分析。布莱克著名的牛顿用指南针测量世界的肖像，提供了一个恰当的形象来纪念我的这位非凡的朋友和同事。

图6. 布莱克创作的版画《牛顿》