圆锥的体积公式（圆锥的体积为什么要乘1/3？）

　　小学六年级我们就学习了圆锥的体积公式，大家都知道圆锥的体积是等底等高圆柱体积的1/3。那为什么等于圆柱体积的1/3呢？几乎所有版本的小学数学教材都是利用演示的方法来说明的。即老师拿着透明的等底等高的圆柱和圆锥，圆锥盛水（或沙子），装满往圆柱倒三次，圆柱满了，就说明两者体积有3倍关系。

　　当然教材这样编排的目的是基于小学生的学科认知基础来处理的，但在实际教学中，你会发现，越来越多的孩子并不满足这种解释的，他们总会打破砂锅问到底，而这个问题的解释包含了朴素的微积分思想和祖暅原理。作为教师来说，我们有必要给孩子进行一个数学科普，让他们懂得其中的原理，这无疑会培养孩子们进一步学习和研究数学的热情。

　　一、先谈谈圆的面积推导

　　推导圆的面积时，我们把圆等分成若干个“圆三角形”，再拼成一个近似的平行四边形。分成的小三角形越多，拼成的图形越接近矩形。再对比两者的关系，利用长方形的面积公式推导出圆的面积公式，这就是“化曲为直”的思想，而切拼的过程其实是利用微积分的思想。

　　圆的面积=圆周长的一半×半径=πr×r=πr²（如图所示）

　　二、再说说圆锥体积公式的由来

　　那么圆锥的体积为何和圆的面积扯上关系了，这里主要用到的是圆面积推导的方法“化曲为直”来解释的。还是一样的道理，首先把等底等高的圆柱和圆锥如图细分，分得足够细，化曲为直，于是分出的每一小片就是一个三棱柱和对应的三棱锥。

　　接下来我们要研究的就是等底等高的三棱柱和三棱锥之间的关系了。

　　这里先说一个结论，就是等底等高的三棱锥体积相等，这需要先来说一个原理，祖暅原理。

　　祖暅（ɡènɡ），亦名祖暅之，是我国著名数学家祖冲之（公元429—500）的儿子，他的活动时期大约在公元504—526年。是南朝齐梁间数学家，曾任太府卿。祖氏父子在数学和天文学上都有杰出贡献。

　　祖暅在修补编辑祖冲之的《缀术》时，提出了著名的祖暅原理，并巧妙地推导出球体积公式。

　　祖暅原理也称祖式原理，一个涉及几何求积的著名命题，公元656年，唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的开立圆术，祖暅在求球体积时，使用的一个原理：“幂势既同，则积不容异”。

　　祖暅原理：“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。”

　　如下图：完全相同且数目一样的两堆书叠成两摞，一摞竖直叠，一摞斜着叠，（分别对应一个直棱柱和一个斜棱柱）用平行于底面的截面截这两个棱柱，截得的截面面积是处处相等的，而它们的体积显然是相等的，这是祖暅原理的直观体现。

　　由祖暅原理知底面积相等的如下三个柱体的体积都相等：

　　所以下图中，等底等高的两个三棱锥，由于相似关系，同一高度的截面积相等，于是由祖暅原理可知，等底等高的两个三棱锥，体积相等。

　　不过锥体（棱锥、圆锥及不规则锥体）的体积，却不能直接按上述方法定义。我们可以回想小学时推导三角形的面积公式：两个相同的三角形可以拼成一个平行四边形，从而三角形的面积是：

　　我们可以效仿这种思维，不难证明：三棱锥的体积等于等底等高三棱柱体积的1/3，如下图：

　　三棱柱ABC－A'B'C'的底面积（即△ABC的面积）为s,高（即点A'到平面ABC的距离）为h，则它的体积为sh，沿平面A'BC和平面A'B'C，将这个三棱柱分割为3个三棱锥，其中三棱锥1，2的底面积相等（S△A'AB=S△A'B'B），高也相等（点C到平面ABB'A'的距离）；三棱锥2，3也有相等的底面积（S△B'BC=S△B'C'C）和相等的高（点A'到平面BCC'B'的距离）。因此，这三个三棱锥的体积相等，每个三锥的体积等于等底等高三棱柱体积的1/3。

　　这样进一步推广，不光是棱锥体，圆锥也一样。只要是锥体，等底等高的锥体体积都相等。这样很容易由等积关系看出，所有锥体的体积都等于与它等底等高柱体体积的1/3。

　　最后，回到最初圆柱圆锥的分割图上，由于圆柱分割成许多近似的小三棱柱，圆锥分割成对应的许多小三棱锥，每一小块小三棱锥的体积都是对应小三棱柱体积的三分之一，因此最终的圆锥体积是等底等高的圆柱体积的三分之一。这个中学生可以完全理解，小学生理解力好的其实也能理解。

　　好了，最后希望这些内容可以帮助我们的孩子提高数学学习的兴趣和热情，更多的数学问题，大家可以在下方留言，我们一起来研究吧！