「数学拓展」塞瓦定理是什么

如下图，AD、BE和CF相交于点O。

则有

塞瓦定理记忆方法：三顶点选一个作为起点，定一方向，绕一圈，三组比例相乘为1。

塞瓦(Giovanni Ceva，1648~1734)意大利水利工程师，数学家。塞瓦定理载于塞瓦于1678年发表的《直线论》一书，也有书中说塞瓦定理是塞瓦重大发现。

中文名 塞瓦定理

外文名 Ceva’s theorem

表达式

提出者 乔瓦尼·塞瓦

提出时间 1678年

应用学科 数学、物理 适用领域范围 平面几何学

适用领域范围 射影几何学

提出者国家 意大利

证明过程

【方法一】利用梅涅劳斯定理证明

【拓展】梅涅劳斯（Menelaus）定理

∵△ADC被直线BOE所截，

∴(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1①

∵△ABD被直线COF所截，

∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②

②/①约分得：

【方法二】利用面积法证明

∵BD/DC=S△ABD/S△ACD

=S△BOD/S△COD

=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)

=S△AOB/S△AOC ③

同理可得：

CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ ，

AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤

③×④×⑤得

数学意义

使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用。塞瓦定理的对偶定理是梅涅劳斯定理。